Viajando no mundo matemático: Binómio de Newton

Em matemática, binómio de Newton ^{(português europeu)} ou binômio de Newton ^{(português brasileiro)} permite escrever na forma canônica o polinómio correspondente à potência de um binómio. O nome é dado em homenagem ao físico e matemático Isaac Newton. Entretanto deve-se salientar que o Binómio de Newton não foi o objeto de estudos de Isaac Newton. Na verdade o que Newton estudou foram regras que valem para

(a + b) n

quando o expoente n é fracionário ou inteiro negativo, o que leva ao estudo de séries infinitas.^[1]
Casos particulares do Binómio de Newton são:

${\left(x + y\right)}^1 = x + y\,\!$

${\left(x + y\right)}^2 = x^2 + 2xy + y^2\,\!$

Notação e fórmula

O teorema do binômio de Newton se escreve como segue:

${\left(x+y\right)}^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^{n-k}y^k\,\!$

Os coeficientes ${n \choose k}$ são chamados coeficientes binomiais e são definidos como:

${n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\,\!$ , onde $n\,$ e $k\,$ são inteiros, $k\leq n\,$ e $x! = 1 \times 2 \times \ldots x\,$ é o fatorial de x.

O coeficiente binomial ${n\choose k}$ corresponde, em análise combinatória, ao número combinações de n elementos agrupados k a k.

O triângulo de Pascal

Um algoritmo simples para calcular os coeficientes binomiais é o triângulo de Pascal.
O triângulo de Pascal é um triângulo numérico infinito formado por coeficientes binomiais $\begin{matrix} {n\choose k} \end{matrix}$ , onde $\,\!n$ representa o número da linha (posição vertical) e $\,\!k$ representa o número da coluna (posição horizontal).
A construção do triângulo faz-se de forma que cada elemento do triângulo de Pascal seja igual à soma dos elementos imediatamente acima e à direita com o elemento imediatamente acima e à esquerda. O elemento da primeira linha e primeira coluna é 1.
O príncipio do triângulo de Pascal é a relação de Stifel também conhecida como igualdade do triângulo de Pascal:

O triângulo de Pascal.

${n-1\choose k-1}+{n-1\choose k}={n\choose k}$

Esta fórmula e o triângulo de Pascal são muitas vezes atribuídos a Blaise Pascal, que os descreveu no século XVII. Já eram, no entanto, conhecidos do matemático Chinês Yang Hui no século XIII. O matemático persa Omar Khayyám, pode ter sido o primeiro a descobrir.
Por exemplo, o desenvolvimento de diversos binômios através dessa técnica:

${\left(x + y\right)}^2 = x^2y^0 + 2x^1y^1 + x^0y^2\,\!$

${\left(x + y\right)}^3 = x^3y^0 + 3x^2y^1 + 3x^1y^2 + x^0y^3\,\!$

${\left(x + y\right)}^4 = x^4y^0 + 4x^3y^1 + 6x^2y^2 + 4x^1y^3 + x^0y^4.\,\!$

Demonstração do teorema do Binômio de Newton

Antes de começar, vale lembrar que:

$\sum_{k=0}^{n-1} a_k=\sum_{k=1}^n a_{k-1}$ (1)

Sejam x, y elementos de um anel comutativo( xy=yx) e n um inteiro não-negativo.

$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k$

Demonstraremos por indução matemática.

Base:

$n=0~,\qquad(x+y)^0=1={0 \choose 0}x^0y^0$

$n=1~,\qquad(x+y)^1= x + y ={1 \choose 0}x^1y^0 + {1 \choose 1}x^0y^1$

Recorrência:

Seja n um inteiro maior ou igual a 1, mostraremos que a relação para n implica a relação para n+1:
Da hipótese de indução:

$(x+y)^{n+1}=(x+y)\cdot\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k,$

Por distributividade de produto sob a soma:

$(x+y)^{n+1}=x^{n+1}+x\cdot\sum_{k=1}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k +y\cdot\sum_{k=0}^{n-1} {n \choose k} x^{n-k} y^k + y^{n+1}$

Que pode ser reescrito usando (1):

$(x+y)^{n+1}=x^{n+1}+x\cdot\sum_{k=1}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k +y\cdot\sum_{k=1}^{n} {n \choose k-1} x^{n-k+1} y^{k-1} + y^{n+1}$

$(x+y)^{n+1} =x^{n+1}+\sum_{k=1}^n \left\lbrack {{n} \choose {k}} + {{n} \choose {k-1}} \right\rbrack x^{n-k+1} y^{k}+ y^{n+1}$

Usando a formula do triângulo de Pascal:

$(x+y)^{n+1} =x^{n+1}+\sum_{k=1}^n {{n+1}\choose k}~x^{n-k+1} y^{k}+y^{n+1}$

Reagrupando o somatório:

$(x+y)^{n+1} =\sum_{k=0}^{n+1} {{n+1}\choose k}~x^{n-k+1} y^{k}$

E segue o resultado.

Aplicações

O binómio de Newton pode ser usado para derivar diversas expressões matemáticas, através da escolha adequada de x e y. Por exemplo:

$0=(1-1)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}(-1)^k$
$2^n=(1+1)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}$
$2^{2n}=(1+1)^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}{2n \choose k}$
$1=[x+(1-x)]^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^k(1-x)^{n-k}=\sum_{k=0}^nB_k^n(x)$ , onde $B_k^n(x)$ são os polinómios de Bernstein.