Viajando no mundo matemático: Produto de Matrizes

Em matemática, o produto de duas matrizes é definido somente quando o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz. Se A é uma matriz m-por-n e B é uma matriz n-por-p, então seu produto é uma matriz m-por-p definida como AB (ou por A · B). O produto é dado por

$(AB)_{ij} = \sum_{r=1}^n a_{ir}b_{rj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj}.$

para cada par i e j com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ p.

Calculando directamente a partir da definição

A figura à esquerda mostra como calcular o elemento (1,2) e o elemento (3,3) de AB se A é uma matriz 4×2, e B é uma matriz 2×3. Elementos de cada matriz são postos par a par na direcção das setas; cada par é multiplicado e os produtos são somados. A posição do número resultante em AB corresponde ao da seta e coluna que foi considerada.

$(AB)_{1,2} = \sum_{r=1}^2 a_{1,r}b_{r,2} = a_{1,1}b_{1,2}+a_{1,2}b_{2,2}$

$(AB)_{3,3} = \sum_{r=1}^2 a_{3,r}b_{r,3} = a_{3,1}b_{1,3}+a_{3,2}b_{2,3}$

Propriedades

Multiplicação de matrizes não é em geral comutativa, ou seja, AB ≠ BA(exceto em casos especiais). Eis um contra-exemplo:

$\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{array}\right]$

Embora multiplicação de matrizes não seja comutativa, os determinantes de AB e BA são sempre iguais (se A e B são matrizes quadradas de dimensões iguais). Veja o artigo sobre determinantes para esclarecimento.
O produto é associativo, ou seja:

$\left(AB\right)C=A\left(BC\right)\,$