Lei dos Cossenos

A lei dos cossenos estabelece uma relação entre um lado do triângulo, seu ângulo oposto e os lados que definem este ângulo através da trigonometria.
Este teorema é atribuído ao matemático persa Ghiyath al-Kashi.

Fórmula

Em um triângulo qualquer ABC de lados BC, AC e AB que medem respectivamente a, b e c e com ângulos internos , e valem as relações:

Demonstração

A seguir algumas maneiras de demonstrar a lei dos cossenos::
Considerando a figura, podemos observar três triângulos: .

Destes, pode-se extrair as seguintes relações: e .
Usando o Teorema de Pitágoras para obter uma relação entre os lados dos triângulos, temos:

• Para BCD:
• Para BAD:

Substituindo e em :



Entretanto, pode-se substituir a relação , do triângulo , na equação acima. Dessa maneira, encontra-se uma expressão geral da Lei dos cossenos:

Da mesma forma, pode-se demonstrar as demais relações:


Outro modo de demonstrar é usando geometria analítica com vetores: Definimos um vetor como sendo igual a temos um triângulo formado pela soma e o resultante . Sabendo que e sendo θ o ângulo entre os vetores e temos o seguinte desenvolvimento:




Que pode ser representado como a lei dos cossenos que conhecemos:

Já que θ é o ângulo formado entre os vetores e e considerando que o ponto da origem de é o mesmo da origem de , dizemos que esse ponto é C, pois é oposto ao vetor , logo formando um ângulo .