domingo, 14 de fevereiro de 2010

Determinante

Em matemática, determinante é uma função que associa a cada matriz quadrada um escalar. Esta função permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não têm são precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0.

Definição

Seja M o conjunto das matrizes com n linhas e n colunas sobre um corpo K. Pode-se provar que existe uma única função f com as seguintes propriedades:
  1. f é n-linear e alternada nas linhas das matrizes;
  2. f(In) = 1, onde In é a matriz identidade.
Esta função chama-se determinante.
O determinante de uma matriz A representa-se por |A| ou por det(A).

Propriedades

  1. O determinante também é uma função n-linear e alternada nas colunas da matriz;
  2. O determinante de uma matriz é igual ao determinante da sua transposta: det(A) = det(AT);
  3. Se uma fila (linha ou coluna) da matriz é composta de zeros, então o determinante desta matriz será zero;
  4. Se escrevermos cada elemento de uma linha ou coluna de A como soma de duas parcelas então det(A) é a soma de dois determinantes de ordem n cada um considerando como elemento daquela linha ou coluna uma das parcelas, e repetindo as demais linhas ou colunas;
  5. Se uma matriz é triangular (superior ou inferior) o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal;
  6. Multiplicando uma fila (linha ou coluna) de uma matriz A por um escalar λ ∈ K, então o determinante da nova matriz é igual ao determinante de A multiplicado por λ;
  7. Se permutarmos duas linhas ou colunas de A então o determinante da nova matriz é −det(A);
  8. Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então det(A) = 0;
  9. Se somarmos a uma linha (ou coluna) de A um múltiplo de outra linha (ou coluna), o determinante da nova matriz é igual ao de A;
  10. Se A e B são matriz quadradas da mesma ordem, então det(AB) = det(A).det(B);
  11. Se A é invertível, então det(A−1) = 1⁄det(A), de onde resulta que se A é invertível então det(A) ≠ 0;
  12. Se A é ortogonal, então det(A) = ±1.

Determinante de uma matriz de ordem 1

O determinante da matriz A \, de ordem n = 1 \,, é o próprio número que origina a matriz. Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a_{11}] \, temos que o determinante é o número real a_{11} \,:
det(M) = a_{11} \,.
Por exemplo:
A = ( 3 ) \, , então det(A) = 3 \, .

Determinante de matriz de ordem 2

A area do paralelogramo é o determinate da matriz formada pelos vetores que representam seus lados.
O determinante de uma matriz de segunda ordem é a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundária. Esses produtos se chamam, respectivamente, termo principal e termo secundário da matriz.
\hbox{det} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=ad-bc .
Por exemplo, o determinante da matriz \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} é dado por: 0.(-1) - 2.1 = 0 - 2 = -2 \, .

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 é calculado através de suas diagonais.
Para calcular o determinante de matrizes de terceira ordem, utilizamos a chamada regra de Sarrus, que resulta no seguinte cálculo:
\det \begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}=(aei + dhc + gbf) - (ceg + fha + ibd) .
  • Por exemplo:
A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 10\\ -1 & 1 & 10 \\ 0 & 2 & 10 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 3 & 10\\ -1 & 1 & 10 \\ 0 & 2 & 10 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 3\\ -1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}
\det(A) = ((1 . 1 . 10) + (3 . 10 . 0) + (10 . (-1) . 2)) - ((0 . 1 .10) + (2 . 10 . 1) + (10 . (-1) . 3)) \,
= (10 + 0 + (-20)) - ((0 + 20 + (-30))\,
= 0 \,

Determinantes de ordem maior ou igual a 4

Para calcularmos o determinantes de matrizes com ordem igual ou superior a quatro, podemos reduzir a sua ordem. Seja a matriz
A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\end{pmatrix}
Desenvolvendo o determinante pela primeira linha obtemos:
\det A = a_{11} . (-1)^{1+1} . \det A_{-1,-1} + \,
a_{12} . (-1)^{1+2} . det A_{-1,-2} + \,
a_{13} . (-1)^{1+3} . det A_{-1,-3} + \,
a_{14} . (-1)^{1+4} . det A_{-1,-4} \, ,
onde A−i,−j representa a matriz obtida a partir de A, com a retirada da i-ésima linha e da j-ésima coluna. Retorna-se ao cálculo de quatro determinantes de matrizes de terceira ordem.
Então definimos o determinante de ordem n desenvolvido pela i-ésima linha:
\det \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ : & : & :: & :\\ a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \ldots & a_{n-1,n}\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix}= \sum_{j=1}^{n} a_{ij} (-1)^{i+j} \cdot det A_{-i,-j} \, .

Cálculo de determinantes por triangularização

Tendo em vista a propriedade de que o determinante de uma matriz triangular é o seu termo principal (propriedade 5), a idéia é aplicar operações elementares sobre suas linhas, de modo a triangularizá-lo. Para isso devemos observar os efeitos que cada operação elementar pode ou não causar no valor do determinante procurado:
  • Permutar linhas troca o sinal do determinante (propriedade 7);
  • Multiplicar uma linha por um número real \lambda \, não nulo, multiplica o determinante por \lambda \, (propriedade 6);
  • Somar a uma linha um múltiplo de outra não altera o determinante (propriedade 9).
Para triangularizar um determinante basta atentar para as possíveis compensações provocadas pelas operações elementares utilizadas e não há uma única maneira de realizar esse processo. O método é algorítmico, constituído de passos simples: a cada coluna, da primeira à penultima, deve-se obter zeros nas posições abaixo da diagonal principal. Veja o exemplo a seguir:
\begin{vmatrix} 2 & -4 & 8\\ 5 & 4 & 6 \\ -3 & 0 & 2 \end{vmatrix} L_1 \leftarrow \frac{1}{2} L_1 = 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 & 4\\ 5 & 4 & 6 \\ -3 & 0 & 2 \end{vmatrix} L_{2} \leftarrow L_{2} - 5.L_{1} \land L_{3} \leftarrow L_{3} + 3.L_{1} = 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 & 4\\ 0 & 14 & -14 \\ 0 & -6 & 14 \end{vmatrix} L_{2} \leftarrow \frac{1}{14} =
2 \cdot 14 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 & 4\\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & -6 & 14 \end{vmatrix} L_{3} \leftarrow L_{3} + 6.L_{2} = 2 \cdot 14 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 & 4\\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 8 \end{vmatrix} = 2 \cdot 14 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 8 = 224
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