Viajando no mundo matemático: Polinômio

Em matemática, funções polinomiais, polinómios ^{(português europeu)} ou polinômios ^{(português brasileiro)} são uma classe importante de funções simples e infinitamente diferenciáveis. Devido à natureza da sua estrutura, os polinómios são muito simples de se avaliar e por consequência são usados extensivamente em análise numérica.

História

Determinar as raízes de polinómios, ou "resolver equações algébricas", é um dos problemas mais antigos da matemática. Alguns polinômios, tais como

f (x) = x 2 + 1

, não possuem raízes dentro do conjunto dos números reais. Se, no entanto, o conjunto de candidatos possíveis for expandido ao conjunto dos números imaginários, ou seja, se se passar a tomar em conta o conjunto dos números complexos, então todo o polinómio (não-constante) possui pelo menos uma raiz (teorema fundamental da álgebra).
Existe uma diferença entre a aproximação de raízes e a determinação de fórmulas concretas que as definem. Fórmulas para a determinação de raízes de polinómios de grau até ao 4º são conhecidas desde o século XVI (ver equação quadrática, Gerolamo Cardano, Niccolo Fontana Tartaglia). Mas fórmulas para o 5º grau têm vindo a escapar aos investigadores já há algum tempo. Em 1824, Niels Henrik Abel provou que não pode haver uma fórmula geral (envolvendo apenas as operações aritméticas e radicais) para a determinação de raízes de polinómios de grau igual ou superior ao 5º em termos de coeficientes (ver teorema de Abel-Ruffini). Este resultado marcou o início da teoria de Galois, onde se aplica a um estudo detalhado das relações entre raízes de polinómios.

Definição (caso real)

Para a sucessão de termos $a_0,...,a_n \in \mathbb{R}$ (ou $\mathbb{C}$ ) com $a_n \ne 0$ , um polinómio de grau n (ou também função racional inteira) é uma função que possui a forma

$f(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0\,$

Alternativamente, o polinómio pode ser escrito recorrendo-se à notação sigma

$f(x)=\sum_{v=0}^n a_v x^v\,$

Os números $a_0 \cdots a_n$ são denominados de coeficientes do polinómio e o termo

a 0

de coeficiente constante, ou termo independente.
Cada elemento somado

a v x v

do polinómio é denomidado por termo. Um polinómio com um, dois ou três termos é chamado de monómio, binómio ou trinómio respectivamente.
Em relação ao grau, os polinómios podem ser classificados como a seguir:

grau 0 - polinômio constante;
grau 1 - função afim (polinômio linear, caso $a 0 = 0$ );
grau 2 - polinômio quadrático;
grau 3 - polinômio cúbico.
...
grau n - polinômio de grau n.

Pode-se estender a definição de polinómio para incluir

f (x) = 0

, chamado polinômio nulo. O polinômio nulo não possui grau definido.
Uma equação polinômica obtem-se quando o polinômio é igualado a zero, ou seja:

$f(x)=\sum_{v=0}^n a_v x^v\ = 0$ .

Desta forma podemos falar em raízes do polinômio

f (x)

e encontrar os valores de

x

que tornam a igualdade verdadeira, isto é, busca-se a raíz do polinômio

f (x)

que é um valor de

x

tal que torne

f (x) = 0

. Um número que satisfaz uma equação polinômica é chamado de número algébrico. Por exemplo: $\sqrt{2}$ é algébrico e valida o polinômio

x 2 - 2 = 0

pois $(\sqrt{2})^2-2=0$ .

Definição (genérica)

A definição acima de um polinómio com coeficientes reais (ou complexos) pode ser generalizada para polinómios com coeficientes em estruturas algébricas mais gerais. O resultado é o anel de polinômios.
Seja $(A, +, \times)\,$ um anel. Então podemos considerar o conjunto $A[x]\,$ das funções $a: \mathbb{N} \to A\,$ que tem suporte finito, ou seja, para as quais o conjunto $\{ n | a(n) \ne 0 \} \,$ é finito. Essas funções representam os coeficientes do polinómio (notar que $a_n\,$ é uma forma de se escrever $a(n)\,$ ).
O objetivo é escrever uma soma e um produto neste conjunto, de forma que as seqüências do tipo (k, 0, 0, ...) funcionem como os escalares, e a seqüência do tipo (0, 1, 0, ...) funcione como o x dos polinómios.
A definição de $a \oplus b\,$ e $a \otimes b\,$ é feita pelos seus coeficientes, ou seja:

$(a \oplus b)(n) = a_n + b_n\,$

$(a \otimes b)(n) = \Sigma_{i = 0}^n {a_i \ b_{n-i}}\,$

Deve-se observar que as duas definições fazem sentido, pois a soma e o produto destas séries tem suporte finito.
Falta provar os axiomas de anel para $(A[x], \otimes, \oplus)\,$ , o que é fácil mas trabalhoso, e que a função

$\pi: A \to A[x]\,$

definida por:

$\pi(k)_0 = k\,$

$\pi(k)_n = 0, \mbox{ se } n > 0\,$

é um isomorfismo entre A e $\pi(A)\,$ .
Isso mostra que A pode ser visto como um sub-anel de $A[x]\,$ .
Se o anel A possui identidade multiplicativa, então definindo x como a função:

$x_0 = 0\,$

$x_1 = 1\,$

$x_n = 0 \mbox{ se } n > 1\,$

verifica-se que os elementos de $A[x]\,$ são todos da forma $a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n\,$ .

Notas

Equações cujas soluções são números inteiros ou racionais são chamadas de Equações Diofantinas.
Os polinómios até o grau n e o polinômio nulo formam um espaço vectorial que é normalmente denominado por Π_n. Neste artigo os polinómios foram representados a partir de uma base monomial (ex.: $1, x, x 2,..., x n$ ) mas deve ser notado que qualquer outra sequência polinomial pode ser usada como base, como por exemplo os polinómios de Chebyshev.
Se D é um domínio de integridade, então o anel dos polinómios $D[x]\,$ também é um domínio de integridade.
Se F é um corpo, então o anel dos polinómios $F[x]\,$ é uma álgebra sobre o corpo F. Como espaço vectorial, $F[x]\,$ tem uma base enumerável. A base canónica é o conjunto $\{ 1, x, x^2, x^3, \ldots \}\,$

domingo, 14 de fevereiro de 2010

Polinômio

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Definição (caso real)

Definição (genérica)

Notas

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