Matriz

Na matemática, uma matriz é uma tabela de m x n símbolos sobre um corpo F, representada sob a forma de um quadro com m linhas e n colunas e utilizado, entre outras coisas, para a resolução de sistemas de equações lineares e transformações lineares.

Notações e definições

As linhas horizontais da matriz são chamadas de linhas e as linhas verticais são chamadas de colunas. Uma matriz com m linhas e n colunas é chamada de uma matriz m por n (escreve-se m×n) e m e n são chamadas de suas dimensões, tipo ou ordem.
Um elemento de uma matriz A que está na i-ésima linha e na j-ésima coluna é chamado de elemento i,j ou (i,j)-ésimo elemento de A. Ele é escrito como a_i,j ou a[i,j].
Uma matriz onde uma de suas dimensões é igual a 1 é geralmente chamada de vetor. Uma matriz 1 × n (uma linha e n colunas) é chamada de vetor linha ou matriz linha, e uma matriz m × 1(uma coluna e m linhas) é chamada de vetor coluna ou matriz coluna.
Nas linguagens de programação, os elementos da matriz podem estar indexados a partir de 1 (Fortran, MATLAB, R (linguagem de programação), etc) ou a partir de 0 (C (linguagem de programação) e seus dialetos). Por exemplo, o elemento a(1,1) em Fortran corresponde ao elemento a[0][0] em C.

Exemplos

A matriz a seguir é uma matriz de ordem 2×3 com elementos naturais

Nesse exemplo, o elemento a_{1 2} é 2, o número na primeira linha e segunda coluna do quadro.

As entradas (símbolos) de uma matriz também podem ser definidas de acordo com seus índices i e j. Por exemplo, a_ij = i + j, para i de 1 a 3 e j de 1 a 2, define a matriz 3x2 .

Algumas definições

A transposta de uma matriz A_{m × n} é a matriz A^t_{n × m} em que , ou seja, todos os elementos da primeira linha, tornar-se-ão elementos da primeira coluna, todos os elementos da segunda linha, tornar-se-ão elementos da segunda coluna, todos os elementos da n linha, tornar-se-ão elementos da m coluna. Exemplo:
Uma matriz é dita quadrada se tem o mesmo número de linhas e colunas, ou seja, quando podemos dizer que, m tem a mesma quantidade de elementos que n. Numa matriz quadrada A de ordem n × n, chama-se de diagonal principal os elementos a_ij onde i = j, para i de 1 a n.
A matriz identidade I_n é a matriz quadrada n × n que tem todos os membros da diagonal principal iguais a 1 e 0 nas outras posições. Exemplo: .
A única matriz identidade que não contém zero é a matriz identidade de ordem 1:
Uma matriz A é simétrica se A = A^t. Isso só ocorre com matrizes quadradas.

Operações envolvendo matrizes

Não se define adição ou subtração de um número com uma matriz, e nem divisões envolvendo matrizes.

Multiplicação por um escalar

A multiplicação é uma das operações mais simples que podem ser feitas com matrizes. Para multiplicar um número k qualquer por uma matriz n×m A, basta multiplicar cada entrada a_ij de A por k. Assim, a matriz resultante B será também n×m e b_ij = k.a_ij. Com isso, pode-se pensar também na noção de dividir uma matriz por um número: basta multiplicá-la pelo inverso desse número. Mas essa noção pode ser perigosa: enquanto a multiplicação entre um número e uma matriz pode ser dita "comutativa", o mesmo não vale para a divisão, pois não se pode dividir um número por uma matriz.
Por exemplo:

Adição e subtração entre matrizes

Dado as matrizes A e B do tipo m por n, sua soma A + B é a matriz m por n computada adicionando os elementos correspondentes: (A + B)[i,j] = A[i, j] + B[i,j].
Por exemplo:

Para melhorar a forma de calcular, você pode reescrever a segunda matriz, revertendo seus elementos, onde o elemento (-1) passará para (1) e o elemento (2) passará para (-2) e assim sucessivamente. Após feito isso, além de fazer A-B, você usará A+B.
Lembre-se: Você só pode fazer isso com Matriz negativa, onde recebe o sinal negativo, por exemplo: em -A+B, o A que poderá ser reescrito.

Multiplicação de matrizes

Multiplicação de duas matrizes é bem definida apenas se o número de colunas da matriz da esquerda é o mesmo número de linhas da matriz da direita. Se A é uma matriz m por n e B é uma matriz n por p, então seu produto AB é a matriz m por p (m linhas e p colunas) dada por:

para cada par i e j.
Por exemplo:

A multiplicação de matrizes tem as seguintes propriedades:
z A e B m×n e matriz C k×m ("distribuição à esquerda").
É importante notar que a comutatividade não é geralmente garantida; isto é, dados as matrizes A e B com seu produto definido, então geralmente AB ≠ BA.
Algoritmo para a multiplicação de uma matriz A por uma matriz B, sendo o resultado gravado numa matriz C:

Para (i=0; i
   Para (j=0; j
     C[i][j]=0;
     Para (x=0; x
       C[i][j]+=A[i][x]*B[x][j];
     }
   }
 }

Propriedades

Determinante

O determinante é uma propriedade matricial útil na resolução de sistema de equações lineares (que sempre podem ser representados através de matrizes), além de outras aplicações matemáticas.

 

Característica

A característica de uma matriz é um inteiro não negativo que representa o número máximo de linhas (ou colunas) da matriz que são linearmente independentes.^[1] De acordo com o teorema de Kronecker, temos que a característica de uma matriz B é c se e somente se:

• Existe pelo menos uma submatriz c*c cujo determinante é diferente de zero.
• Toda submatriz quadrada de ordem superior a c tem determinante zero.

Um menor de uma matriz é o determinante de uma de suas submatrizes. Logo, B tem a característica c quando pelo menos uma de suas submatrizes tem um determinante c não nulo (seu menor) e todo menor de ordem superior é igual a zero.
Se c for não nulo, então c é o maior inteiro não-negativo tal que B possui pelo menos uma submatriz c * c com determinante diferente de zero. De acordo com a definição,
Onde m é o número de linhas e n o número de colunas de B.