Viajando no mundo matemático: Regra de Cramer

A regra de Cramer é um teorema em álgebra linear, que dá a solução de um sistema de equações lineares em termos de determinantes. Recebe este nome em homenagem a Gabriel Cramer (1704 - 1752).
Se $A \vec x= \vec b$ é um sistema de equações. (A é a matriz de coeficientes do sistema, $\vec x$ é o vetor coluna das incógnitas e $\vec b$ é o vetor coluna os termos independentes)
Então a solução ao sistema se apresenta assim:

$x_j = {\left| A_j \right| \over \left| A \right|}$

Em que Aj é a matriz que se obtém da matriz A substituindo a coluna j pela coluna dos termos independentes b.

Demonstração

Sejam:

$\vec x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}; A = \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn}\end{bmatrix}; \vec b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$

$A_j = \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1j-1} & b_1 & a_{1j+1} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \ddots & & & & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & & & & \vdots \\ \vdots & & & \ddots & & & \vdots \\ \vdots & & & & \ddots & & \vdots \\ \vdots & & & & & \ddots & a_{n-1n} \\ a_{n1} & \cdots & a_{nj-1} & b_n & a_{nj+1} & \cdots & a_{nn}\end{bmatrix}$

Usando as propriedades da multiplicação de matrizes:
$A \vec x = \vec b \Leftrightarrow A^{-1} A \vec x = A^{-1} \vec b \Leftrightarrow I \vec x = A^{-1} \vec b \Leftrightarrow \vec x = A^{-1} \vec b$
então:

$\vec x = A^{-1} \vec b = \frac{(\operatorname{Adj} A)}{\left| A \right|} \vec b$

Sejam:

$A^{-1} \vec b = p_{jk}$

$(\operatorname{Adj}A) = \frac{A^\prime_{pl}}{A^\prime_{pl}} = A_{lp}$

Portanto:

$A^{-1} \vec b = p_{jk} = \sum_{i=1}^n \frac{A^\prime_{ji}}{\left| A \right|} b_{ik} = \frac{\sum_{i=1}^n A_{ij} b_i }{\left| A \right|} =_{\rm (1)} {\left| A_j \right| \over \left| A \right|}$

(1) Recordando a definição de determinante, o somatório definido acumula a multiplicação do elemento adjunto o cofator da posição ij, com o elemento i-ésimo do vetor B (que é precisamente o elemento i-ésimo da coluna j, na matriz